Q: (2009. January 24, m_vrucinic@yahoo.com)
Bane,kako da formiramo konfiguraciju kod onog zadatka sa "kromirima" (4.7) kad nemamo savrseni diferencni skup?
A:(bane)
N ecu tako da vam dam zadatak. Ako treba da formirate semu, dacu vam i savrseni skup.
Re: (2009. January 24, m_vrucinic@yahoo.com)
Mi se ubismo od kombinovanja.. . HVALA

Q: (2009. January 23, doca88@live.com)
Profesore,interesuje me da li na kolokvijum iz diskretne matematike koji je zakazan za ponedeljak dolazi u obzir gradivo iz grafova,pitam Vas posto je profesor Igor na kraju casa spomenuo da mozda grafova
uopste nece biti na kolokvijumu.
Hvala unapred!
Todorovic Aleksandar
A:(bane)
Samo osnovne stvari...

Q: (2009. January 21, nestorovicsrdjan@gmail.com)
Da li ste u medjuvremenu dosli do informacije da li ce drugi kolkokvijum iz linearne algebre da obuhvati i analiticku geometriju. Poz
A:(bane)
Ne znam, ja ne dajem zadatke za kolokvijum. Moracete da pitate svako svog profesora.

Q: (2009. January 20, danilorhd@hotmail.com)
Jedno pitanje za vas. Imam 2 prave zadate u kanonickom obliku. Pitanje zadatka je: Pod kojim uslovom se prave seku?
Da li je uslov da su im pravci razliciti ili da imaju samo jednu zajednicku tacku?
A:(bane)
Da.
Teoretski...
Prakticno, prevededi obe prave na parametarski oblik (prva prava=t, druga prava=s).
Izjednaci x-ove, y-e i z-ove, dobijene iz obe prave.
Imas sistem od tri jednacine, sa ukupno dve nepoznete, t i s.
Ako ovaj sistem ima jedinstveno resenje po t i s, prave se seku u tacki.
Ako ovaj sistem ima beskonacno resenja, prave se poklapaju.
Ako ovaj sistem nema resenja, prave su ili paralelne ili mimoilazne.
Pozdrav,
Bane

Q: (2009. January 20, sandra_ilijin@yahoo.com)
profesore jedno pitanje
sta je resenje kad imam da je rang matrice veci od ranga prosirene matrice?(kod sistema)
A:(bane)
to ne moze nikada da se desi.
rang(A)<=rang(P(A))

Q: (2009. January 20, pavgogi@gmail.com)
Hteo sam da pitam sta se desava ako resavam sistem jednacina kramerovom metodom i ako se dobije da je D=0.
Sta je onda D1/D D2/D itd Koliko sam video mnozi se sa necim ovo ali neznam sa cim.
A:(bane)
Kao prvo, ako si bio na vezbama, cuo si da sam rekao da NE RESAVAS SISTEM KRAMEROVIM METODOM, JER NIJE BAS PONAJBOLJI, nego da koristis Gaussov metod ili Kroneker-Kapelijevu T:.
Ako je D=0, onda sistem moze da bude neodredjen, a moze i da nema resenja, zavisno od toga da li su ostale determinante jednake nuli, ili ne.
Pozdrav,
Bane
Re: (2009. January 20, pavgogi@gmail.com)
Bio sam na vezbama i isti zadatak sam prvo resio gausovom metodom ali u zadatku je glasio resiti sistem kramerovom metodom. Pozdrav.
Re: (bane)
Eee...

Q: (2009. January 19, filip_blue@yahoo.com)
Danas sam zaboravio da Vas pitam, a kod ovog zadatka smo zapeli nas nekoliko, pa ne bi bilo lose da se njegovo resenje pojavi i na sajtu. Evo teksta zadatka:
DZ108. Polinom Q(X) pri deljenju sa (x - 1) daje ostatak 2, a pri deljenju sa (x -2) daje ostatak 1.Koliki ostatak se dobija pri deljenju sa (x - 1)(x - 2).
tia
P.S. Ne mora celo resenje, moze i samo fora :-)
Filip
A:(bane)
Q(x) pri deljenju sa (x - 1) daje ostatak 2, pa je na osnovu Bezuove teoreme Q(1)=2.
Q(x) pri deljenju sa (x - 2) daje ostatak 1, pa je na osnovu Bezuove teoreme Q(2)=1.
Q(x) pri deljenju sa (x - 1)(x - 2) daje ostatak oblika Ax+B, pa taj kolicnik mozemo da zamislimo u obliku
Q(x)/((x - 1)(x - 2))=K(x) + (Ax+B)/((x - 1)(x - 2)),
ili jos lepse
Q(x) = ((x - 1)(x - 2)) K(x) + (Ax+N),
gde je K(x) kolicnik pri deljenju, koji apsolutno nije relevantan za resavanje zadatka.
Ako u poslednji izraz ubacimo x:=1 dobijamo Q(1)=2=A+B.
Ako zatim u isti izraz ubacimo x:=2 dobijamo Q(2)=1=2A+B.
Resenje ovog sistemcica je A=-1, B=3 , pa je trazeni ostatak R=-x+3.
Pozdrav,
Bane

Q: (2009. January 18, sandra_ilijin@yahoo.com)
a potpise jel dobijamo sutra?
A:(bane)
ja potpise ne dajem.
potpise daju profesori na poslednjem predavanju, nevezano za broj predatih domacih zadataka.
bane

Q: (2009. January 18, sandra_ilijin@yahoo.com)
do kada moraju da se predaju svi domaci?
A:(bane)
do... srede. tj. do petka

Q: (2009. January 11, sandra_ilijin@yahoo.com)
pa za domaci 11 je bio neki zadatak broj dz93
A:(bane)
Mnogo je tezak zadatak.
Ne verujem da cete ovo imati za ispit.

Svejedno:
- napravi matricu P(A),
- tu sve "vrvi"od lambdi...
- zameni kolone, tako da IV kolona postane I,
- prvi red puta (-1), pa dodaj u drugi, treci i cetvrti,
- sad imas sve potrebne nule u I koloni,
- sad ispretumbaj preostale redove i kolone, tako da ispod dijagonale budu sve raspolozive nule...
- cool, a? ;-))
Srecan rad!!!
Re: (2009. January 11, sandra_ilijin@yahoo.com)
ok.omda ne treba konsultacije.poslacu vam jos neke zadatke ovako preko maila ako nesto zatreba

Q: (2008. May 18, conspiritor88@hotmail.co.uk)
Profesore cuo sam da spremate studente iz predmeta linearna algebra i matematicka analiza, pa me zanima kolika je cena i kakvi su uslovi, mislim da li su to spremanja u vidu kursa za vise studenta ili pojedinacno
pozdrav...
A:(bane)
Lose si cuo. Ne spremam privatno iz tih predmeta. To, koliko ja znam, ne radi nijedan asistent sa naseg fakluteta. Ja radim privatno sa gradjevincima i masincima.

Q: (2008. May 17, mica@mbtrejd.com)
Dragi Bane,
javljam Vam se jer imam prilicno neresiv problem. Jako me muci matematika,
a posebno ovi zadaci koje Vam saljem, pa ako mozete da mi ih resite, ili
objasnite kako se resavaju, jer mi zaista nista nije jasno. Nadam se da
Vam ne oduzimam puno vremena i bicu Vam veoma zahvalan ako mi pomognete.
1. Neka je f: R->R data na sledeci nacin:
f(x,y) =
Neprekidno produžiti funkciju f u tacki (0,0) i ispitati egzistenciju parcijalnih izvoda prvog reda u istoj tacki.
2. Odrediti ekstreme funkcije
u = x2 – y2 + z2 ako je 2x - y -3 = 0
3. Pokazati da je sa 3x3 + y3 – z3 – 2xyz + y – 8 = 0 nad nekom okolinom tacke (x0, y0, z0) = (0,0,-2) implicitno data funkcija z = z(x,y). Odrediti Tejlorov polinom drugog stepena funkcije z u okolini tacke (0,0).
Pozdrav od zakasnelog studenta Mice.
A:(bane)
Koji ti je ovo predmet? Ajde malo uputstva:
1. Od ove funkcije treba da pustis Limes kad x->0 i y->0 istovremeno (to je tzv totalni limes). To se radi tako sto se uvede neka jednostavna smena, npr. y=kx, posle koje limes postaje samo po jednoj promenljivoj, tj. Samo x->0.
Gore imas 2008k^3x^3 a dole (3+k^2)x^2. Kad pokratis x-ove, gore ostane jedan visak, pustis limes, i resenje je 0.
To znaci, da funkciju f(x,y) treba produziti tako da je f(0,0)=0.
Zatim nadjes parcijalne izvode, po x i po y. Kad to odradis u oba izraza figurisu u x-ovi i y-ni. Pustas Limese od oba izzraza kad x->0 i y->0, i njih resavas smenom y-kx, i oba resenja MORAJU DA BUDU 0, da bi parcijalni izvodi bili neprekidni. Ako makar jedan od tih limesa nije nula, to znaci da pracijalni izvodi nisu neprekidni.
2. Ovo su ti uslovni ekstremi funkcije tri prmenljive. Neka je Lagranzova funkcija
F(x,y,z)= f(x,y,z) + ???(x,y,z).
a to je
F(x,y,z)= x2 – y2 + z2 + ? (2x - y -3)
Nadjes njene parc. Izvode po x, y i z i izjednacis sa nulom, i dodas jednacinu ???(x,y,z).=0, tj.
2x+2?? =0
-2y-?????
2z=0
2x - y -3 = 0
Odavde je ? =-2, x=2, y=1, z=0.
Dakle, kandidat za ekstremnu vrednost je (2,1,0) uz ? =-2. Provera da li je ovo zaista ekstrem ide preko drugih parc.izvoda i drugog totalnog diferencijala.
Drugi parc. Izvodi po x, po y i po z su 2,-2 i 2, a drugi mesoviti prac. Izvodi su svi jednaki 0. Tako je totalni diferencijal drugog reda4
d^2F=2dx^2-2dy^2+2dz^2>0 pa ekstrem postoji, i kako je prethodni >0 u pitanje je uslovni minimum f(2,-2,2)=8.
Moram da priznam da mi je ovj zastak malo „sumnjiv“. Kao da neki minus nije kako treba...
3. Ovo nikada nisam radio. Treba da se nekako izrazi z(x,y), a onda Taylorov polinom nije problem, to se radi po formuli.

Q: (2008. May 11, slezena@gmail.com)
Postovani profesore,
Da li biste mogli da mi pomognete oko ova dva zadatka?
Unapred veoma zahvalna, Marija PMF
1. Odrediti dužinu luka krive f(x) = 3x -10 od tacke A(8,2) do tacke B(27,17).
2. Odrediti zapreminu torusa koji se dobija obrtanjem kružnice x + (y - a) = r oko x-ose, ako je 0 < r < a.

A:(bane)
Mora da te mnogo muci, kad u pola 4 ujutru pises ocajnicki mail, sa apelom upucenom nepoznatom coveku. Ajde, da te resim ih muka.
Evo:
1. Imas gotov obrazac za duzinu luka krive
L=odredjeni integral u granicama od a do b, kvratni koren iz (1+y’^2) dx
(ovo pisem ovako idiotski jer nemam onaj kreator formula u Wordu).
Dakle, za tvoj slucaj, granice su a=8, b=27, a podintegralna funkcija je
kvardratni koren iz (1+(2x^(-1/3))^2) dx
i moze da se resi na vise nacina, npr. smenom (ono sto je pod korenom =t) ili preko binomnog diferencijala...
2. Ovo je sablonski, tipski zadatak, koji se nalazi u svim zbirkama iz vise matematike, koje koriste inzenjeri i tehnicari (pogotovu Elektronci , gradjevinci...). Znas li sta je torus? To ti je „djevrek“. Ili ako ti je lakse „unutrasnja guma od bicikle“.
Za zapreminu pri rotaciji posotji gotov obrazac
V=Pi * integral u granicama od a do b, y^2 dx
Posto djevrek ima „rupu“, zapreminu racunas kao zapreminu koju opisuje „gornja polovina“ kruznice (to ti je onaj deo djevreka po kome se „posipa“ susam) minus zapremina koju opisuje „donja polovina“ kruznice (to je zapremina „rupe“).
Dakle, V=V1-V2.
Gornja polovina kruznice ima jednacinu y=a+kvadratni koren iz (r^2-x^2), dok je donaj polovina kruznice =a-kvadratni koren iz (r^2-x^2).
Za primenu obrazaca, granice su u ovom slucaju od –a do a.
Obrati paznu, kada radis V1i V2. Ako radis posebno, dobices ukupno 8 integrala i ima da se „ubijes od posla“.
Nemoj tako. Obzirom da je ista promenljiva i da su iste grancie kod oba integrala, „strpaj“ sve u isti integral. Gomila toga ima da se pokrati ili duplira, tako da na kraju mora da ti ostane samo jedan integral za resavanje, a to je
V=Pi * integral od –a do a (4a koren iz r^2-x^2) dx
i resava se smenom [x=r*sin t].
A moze, zbog simetrije u odnosu na y-osu i
V=2 * Pi * 4a * integral od 0 do a (koren iz r^2-x^2) dx
Pozdrav i srecan rad!
P.S. Koja si ti godina studija? Koji je ovo predmet – Analiza I?
Interesantno je da pitas ove zadatke koji se na tehnickim fakultetima rade na I godini, a u nekim niskim srednim skolama i u IV razredu.
P.P.S. Bezveze ti je onaj nik „slezena“. Delic sekunde je deio tvoj mail da zavrsi u mom SPAM-u. Kad pises nekome e-mail stavi obavezno subject, i to nesto na srpskom. Inace to serveri za spam (ali i pazljivi korisnici, kao sto sam ja) odma’ brisu.

Q: (2007. September 29, stefque@gmail.com)
Htedoh da vas pitam nesto....
U nadi da cu poloziti pismeni iz diskretne matematike, voleo bih spreman da odem i na usmeni, ali u knjizi nema onih nekih prvih delova koje je profesor predavao, mislim da su u pitanju skupovi i relacije, pa me zanima gde to mogu da nadjem...
Da li vi imate nesto osnovno o tome pa ako mozete da mi posaljete na mejl?
Ili bar da mi kazete u kojoj knjizi pa da uzmmem u ponedeljak iz biblioteke...
Voleo bih da onemogucim profesoru da me obori... :)
Stefan Jovanovic 11508
A:(bane)
Ima sve na predavanjima...

Q: (2007. April 14, kovacevic.jana@gmail.com)
Profesore moj problem je 3-ci zadatak sa ispita odrzanog 5.7.06.
Mogu li da dobijem resenje? Hvala
A:(bane)
Jana,
Razmisljaj o ovoj funkciji u dva posebna slucaja.
Najpre, za 0<x<1/2, u pitanju je funkcija f(x)=x. Njen domen je 0<x<1/2, a i njen kodomen je 0<x<1/2.
Ova funkcija je "1-1" na svom Df: 0<x<1/2 jer za svako x1,x2 iz Df vazi x1!=x2 => f(x1)!=f(x2).
Ova funkcija je "NA" na svom Df: 0<x<1/2 jer je za svako y iz kodomena 0>y>1/2 postoji x=y takvo da je y=f(x).
Kako je istovremeno "1-1"i "NA", u pitanju je bijekcija.
Sada, za 1/2<x<1, posmatrajmo funkciju f(x)=2x-1/2.
Ova funkcija je "1-1" na svom Df: 1/2<x<1 jer za svako x1,x2 iz Df vazi
x1!=x2 => 2x1!=2x2 => 2x1-1/2!=2x2-1/2 => f(x1)!=f(x2).
Ova funkcija je "NA" na svom Df: 0<x<1/2 jer je za svako y iz kodomena 1/2>y>3/2
y=2x-1/2 => 2x=y+1/2 => x=y/2+1/4 => postoji x=y/2+1/4 takvo da je y=f(x).
Kako je istovremeno "1-1"i "NA", u pitanju je takodje bijekcija.
Inverzna funkcija g(x) date funkcije f(x) ima takodje dva kraka (dva ponasanja)
g(x)=x za 0<x<1/2
g(x)=x/2+1/4 za 1/2<x<3/2.
Pozdrav.

Q: (2007. February 21, jerebanos@yahoo.com)
Postovanje kolega,
Posto na vasem sajtu nisam uspeo da nedjem blankete iz predhodnih rokova a na vasem sajtu ste ostavili poruku da se oni mogu naci na sajtu katedre za matematiku,a tamo ih nisam nasao,pitam vas gde ih mogu naci???
I hteo bih jos nesto da vas pita ali cu to kada vas vidim licno na fakultetu, samo mi molim vas recite kada tj. u kom vremenskom periodu ste vi uglavnom na fakultetu i kada imate manje obaveza nego obicno?
student Nenad Dinic
A:(bane)
Nenade,
Meni je zabranjeno da drzim blankete na svom sajtu, i da na taj nacin omogucim studentima da na lak nacin dodju do njih, i tako im olaksam studiranje.
Dakle, morao sam da ih skinem... Poslao sam nesto od toga u racunski centar...
Konsultacije su u petak prepodne, posle 11,30h.
Pozdrav.

Q: (2007. February 15, aki_aleksic@yahoo.com)
Postovani kolega Bane imam jedno pitanje. Posto sam polozio drugi kolokvijum iz linearne algebre, a u sredu sam radio ponovljeni prvi za koji nisam siguran da sam ga dobro uradio (jer su zadaci bili tezi nego sto sam se nadao), mada postoje sanse da polozim, pa me interesuje ako u slucaju da padnem sta me dalje ocekuje? Da li je potrebno da radim ceo ispit u sledecem ispitnom roku ili mi polozeni drugi kolokvijum vazi i tada?
Aleksic Aleksandar, A1
A:(bane)
Ne znam. Ja uopste nisam u toku, kada je u pitanju sprovodjenje ispita.
Nisam davao zadatke na ispitu (poslednjih par godina), i nisam pregledavao zadatke. Samo sam drzao vezbe.
Za sve detalje moraces da se obratis mojim kolegama asistentima, Makiju, Jovani ili Lidiji Rancic, koji sami organizuju i sprovode ispit.
Pozdrav.

Q: (2007. February 12, pesicvladica@gmail.com)
Imam tri pitanja u vezi zadataka sa blanketa:
I) Linearna Algebra 19.5.2006.
4. b) Neka su x1, x2, x3 nule polinoma P(x)= 2*(x*x*x) - (x*x) - 7*x + l
Odrediti i faktorisati sve polinome P za koje je x1+x2=1 Sada sam postavio sistem:
x1+x2+x3=1/2
x1*x2 + x1*x3 + x2*x3=-7/2
x1*x2*x3=-l/2
--------------
e sad
x1+x2=1/2-x3 ne znam da li treba da zamenim 1=1/2-x3 ili
x1*x2 + x3*(x1+x2)=-7/2 -> x1*x2=x3*x3 - 1/2*x3 - 7/2
x1*x2*x3=-l -> x1*x2=-l/x3
sad ne znam da li treba da dobijam jednacinu treceg stepena ilise dobija drugacije resenje.
II) Linerana Algebra 16.jun.2005.
1. Brojevi20604, 53227, 25755, 20927 i 78421 su deljivi sa 17.
Dokazati bez razvijanja da je determinanta
|2 0 6 0 4|
|5 3 2 2 7|
|2 5 7 5 5|
|2 0 9 2 7|
|7 8 4 2 1|
takodje deljiva sa 17.
Da li moze to da se uradi tako sto se prva kolona pomnozi sa 10000 pa se sabere sa petom
pa se posle toga druga kolona pomnozi sa 1000 pa se sabere sa petom... na kraju bi ispalo nesto ovako
|2 0 6 0 20604|
|5 3 2 2 53227|
|2 5 7 5 25755|
|2 0 9 2 20927|
|7 8 4 2 78421|
Odavde je vec peta kolona deljiva sa 17.
III) Ponovljeni Drugi Kolokvijum Iz Linearne Algebre 2.2.2006
3. b) Odrediti sve polinome x*x*x - a*x*x + b*x - c
(a,b,c) e R, takve da su njihove nule a,b i c.
Ja sam dobi nesto ovako:
x*x*x - (a+b+c)*x*x + (a*b + a*c + b*c)*x - a*b*c
i ovo sam izjednacio sa x*x*x - a*x*x + b*x - c
pa sam dobio sistem
a = a + b + c -> c = -b
b = a*b + a*c + b*c -> b = a*b + (-b)*a + (-b)*b -> b = -b*b -> b1=0
c = a*b*c -> a*b = 1 b2=-1
sada bi trebalo da za b=0 vazi c=0 i a=a, a
b=-1 -> c=1 i a=-1
Da li je ovo dobro.
A:(bane)
Vladice,
Kao prvo, ovaj zadatak 4b, ti nije tacno otkucan. Slobodan koeficijent je {\lambda}, a ne jedinica!!!
Dakle, sistem dobijen pomocu Vijetovih pravila ti je dobar, samo sto se u njemu pojavljuje i {\lambda}, a i fali ti jos jedna jednacina.
To ce biti onaj uslov x1+x2=1. koji je dat u tekstu zadatka. Iz ovog sistema (kako znas i umes, metodom snalazenja), moras da nadjes x1, x2, x3 i lambda.
Ili makar madji samo lambda, pa se vrati sa tim lambda u polinom, pa zatim pomocu teoreme o racionalnim nulama i Hornerove sheme naci sve njegove nule.
Drugi zadatak je ...
Za resenje tog zadatka moraces da se obratis onome ko ga je smislio ...
Mislim da je u pitanju asistent Jovana ili Lidija Rancic (ako me secanje dobro sluzi). Nisam siguran.
Treci zadatak za koji pitas, je OK. Tacno si ga resio.
Imas beskonacno resenja oblika P(x)=ax^2 i jos jedno P(x)=-x^2+x-1.
Pozdrav.

Q: (2007. February 12, ttosa@EUnet.yu)
Imam jedno pitanje, polozio sam ispit preko kolokvijuma ali bih ponovo pokusao da uradim ceo ispit, ustvari jos se razmisljam izmedju ispita i ponovljenog drugog. Imam po 60 poena na oba kolokvijuma i to je 7. Kada bih radio bilo koji od ponovljenih kolokvijuma trebalo bih mi najmanje 80 poena na popravnom da bih mogo da izvucem 8, a kad radim ispit to je vec druga stvar. Ali kod ispita imam drugi "problem" ne secam se bas najbolje prvog dela gradiva a i vremena bas na pretek nemam, pa ako je moguce da mi kazete sta mogu da ocekujem na ispitu otprilike koje oblasti ili tako neka mala pomoc, najvise me koce relacije... Pa ako ste u mogucnosti pruzite malu pomoc! Unapred zahvalan.
A:(bane)
Idemo redom:
Q: Imam jedno pitanje, polozio sam ispit preko kolokvijuma ali bih ponovo pokusao da uradim ceo ispit, ustvari jos se razmisljam izmedju ispita i ponovljenog drugog. Imam po 60 poena na oba kolokvijuma i to je 7.
A: Odakle ti ovaj kriterijum za ocenjivanje? Nisam siguran...

Q: Kada bih radio bilo koji od ponovljenih kolokvijuma trebalo bih mi najmanje 80 poena na popravnom da bih mogo da izvucem 8, a kad radim ispit to je vec druga stvar.
A: Ni za ovu racunicu nisam siguran.

Q: Ali kod ispita imam drugi "problem" ne secam se bas najbolje prvog dela gradiva a i vremena bas na pretek nemam, pa ako je moguce da mi kazete sta mogu da ocekujem na ispitu otprilike koje oblasti ili tako neka mala pomoc, najvise me koce relacije... Pa ako ste u mogucnosti pruzite malu pomoc! Unapred zahvlan
A: Kao prvo, ne mogu da ti kazem sta ce biti na ispitu, jer ja ne dajem zadatke, ne ucestvujem u organizaciji ispita i ne gledam i ne bodujem radove.
Samo drzim racunske vezbe...
Za sva dalja pitanja u vezi ispita, obrati se direktno svom profesoru, koji ti je drzao predavanja, ili docentima i asistentima koji sprovode ispit (Lidija, Jovana i Maki).
Nista vise ne mogu da ti pomognem...

Q: (2007. February 10, pesicvladica@gmail.com)
U vezi treceg zadatka sa blanketa za linearnu algebru 19.5.2006. pod c) Ispitati da li je matrica operatora A operator proste strukture.
Ja sam dobio nesto tipa X1=[1 0 0 0], X2=[0 1 0 0], X3=[0 0 1 0], X3=[0 0 0 1], pa nisam siguran da je tacno.
A:(bane) Sta ti je ovo X1, X2, X3 i X4? Ako su to kolone matrice ovog operatora, onda mislim da si u pravu.
Meni se cini da to jeste resenje zadatka.

Q: (2007. February 07, ttosa@EUnet.yu)
Jel se odrzavaju konsultacije u cetvrtak i u koliko sati?
P.S. Odluka katedre za matematiku je bas na "mestu" ovo je bio jedini normalan sajt od koga je student imao korsti ! Nadam se da cemo se sresti i u sledecem semestru ! Ne menjajte nista u vasem radu najbolji je!
A:(bane) Drago mi je da to cujem. Tj. citam.
Poslednjih dana dobijam dosta poruka od studenata, na temu nase saradnje u proteklom semestru, kao i u vezi promene sadrzaja mog sajta.
Saradnja ce, naravno, i dalje biti na najvisem nogucem nivou. A sto se tice sajta, nadam se da ce u predstojecem periodu i ostali ljudi oko nas uci u 21. vek,
pa ce i nama koji smo vec tamo, biti lakse...
Pozdrav.
P.S. Konsultacije u cetvrtak 08,30-09,30h.

Q: (2007. February 05, stanisapetkovic@yahoo.com)
Bane,jedno pitanje za konsultacije iz linearne algebre: Kada ste i da li ste na fakultetu sada u Sredu,( to je 7.feb ako se ne varam) i ukoliko niste
kada bi mogao da svratim do vas? Necu puno da gnjavim, imam svega nekolko zadataka sa blanketa,inace iz analiticke geometrije, za sada,
samo da pogledamo,ako moze,tamo gde je zapelo, posto sam ja vec nesto radio.
P.S. U vezi izbornog predmeta za VI semestar; Verovatno su vam gotovi spiskovi, ali posto smo proslog puta naceli tu temu evo jos malo o njoj: Kod nas na smeru dobar deo
ljudi je ustvari presao sa starog na novi nastavni plan,pa postoje ispiti koji su oni polozili tada, a koji im se sada priznaju; za sada samo znam da smo ja i jos trojica
mojih kolega odabrali diskretnu mat. i to je to.Mozda ima jos nekog ali posto nema nastave nevidjamo se sa svima pa su nam i informacije nepotpune.
Pozdrav
Stanisa Petkovic 12016 RUSN
A:(bane) Konsultacije u utorak od 10h, a u sredu jos nisam siguran, ali ce verovatno biti isto od 10h.
Za diskretnu, OK. Ako bude bilo jos interesenata, to bolje i zanimljivije.
Vidimo se.
Bane
P.S. Ako ucis analiticku, skini sa mog sajta poslednji cas racunskih vezbi, koje sam odrzao u proteklom semestru iz linearne algebre.
A moze i proslogodisnji poslednji cas. U oba slucaja, u pitanju su vektori i analiticka geometrija.
Pokusaj da odradis zadatke sa tih vezbi, ali onim redom, kako su tamo zadati.

Q: (2007. February 04, sima010186@yahoo.com)
ZDa li se zna kada su 2 najavljena termina za usmeni ispit iz Diskretne matematike?
Pominjala su se 2 termina 5 i 8 februar!
Kog dana i u koliko sati je usmeni DA LI SE ZNA MOZDA?
Unapred hvala!!!
Nikola Simonovic
A:(bane) Ok.

Q: (2007. January 31, 2718@bankerinter.net)
Zdravo Pofesore!
U koliko h pocinje ispit iz Diskretne Matematike?
Ako imate resenja sa drugog kolokvijuma( i prve i druge grupe) posaljite mi ih putem attachmenta.
Vezbajuci naisao sam na neke dileme, s’ toga imam pitanja u vezi sledecih zadataka:
4.65, 4.67, 4.68
Sta zapravo predstavljaju „Sstemi razlicitih predstavnika“
(nove blokove konfiguracije.....),
Kako i na osnovu cega se oni formiraju (v,r,b,k,lambda),
Da li moraju biti bas oni koji su navedeni u zbirci ili je to samo jedno od resenja?
(dajte konkretan primer za bilo koji od ova 3 zadatka ukoliko ima i drugih resenja)
5.119
U attachmentu Vam je tabela pod imenom „zadatak_5.119“
Razumem je do kombinacije GH (9,G).
( Svaki sledeci radni cvor se bira od suseda trenutnog radnog cvora koji je sa najmanjim privremenom labelom (zbir tezina grana grafa)).
Zasto je u sledecem koraq radni cvor F kad on nije sused cvora G, vec cvora H?
(Sada bi trebalo da radni cvor bude H ali nije, kako, zasto, zbog cega?)
3.Zadatak (sa zadnjeg casa)
Za graf cija je tezinska matrica MAT A, odrediti „MIN SPREZNO STABLO“.
U attachmentu su matrice: MAT A, i matrice za k=1,2,3 i 4.
Proverite da li prva vrsta matrica za k=2,3 i 4 treba da bude 0 2 1 2
i treca vrsta za matricu k=4 treba da bude 3 3 0 2.
Kako ide def za MIN SPREZNO STABLO? (Nisam stigao da zapisem na casu)
MIN SPREZNO STABLO cine.........
Sta je u ovom zadatq MIN SPREZNO STABLO?
Unapred HVALA!
Srdacno, Milan Žikic
A:(bane) To late ...

Q: (2007. January 30, manca1@gmail.com)
Pozdrav profesore,
Nenad Mancevic ovde. Imam jedno pitanje vezano za predstojeci ispit iz linearne algebre. Naime, polagao sam oba kolokvijuma i osvojio 45 na prvom, a 15 na drugom. Da li je moguce da polazem samo drugi kolokvijum sada na ispitu i da ako polozim (a nadam se da hocu) samo dobijem konacnu ocenu i kraj? Ili ipak moram da polazem i gradivo sa prvog kolokvijuma?
Meni bi mnogo znacilo ako je moguce da polazem samo drugi kolokvijum (popravni) umesto ceo ispit.
Hvala unapred na odgovoru!
Nenad Mancevic
A:(bane) Ne znam. Moraces da se obratis nekom od profesora.
Pozdrav

Q: (2007. January 29, sstankovic.86@gmail.com)
Ja sam student elektronskog fakulteta i interesuje me da li mogu,s obzirom da sam obnovio godinu da polazem kolokvijume iz matematicke analize kad za to dodje vreme! Puno bi mi znacilo kada bi ste odgovorili!
A:(bane)
Ne znam sta da ti kazem. Nema razloga da nemas pravo na polaganje.
Koliko ja znam tu ne bi smelo da bude problema, ali ne smem da tvrdim.
Dakle, pravi put je da se pocetkom sledeceg semestra obratis nekom od nastavnika koji budu bili angazovani za taj predmet.
Pozdrav

Q: (2007. January 29, nmilenica@yahoo.com)
Izgleda da je greska pri postavljanju linka za vezbe iz diskretne matematike, link za 16/11 je povezan sa 09/11. Da li moguce da se te nepravda ispravi?
A:(bane) Ok. Sredicu.

Q: (2007. January 27, marija87le@yahoo.com)
Bane, koji algoritam ste koristili kada ste racunali ocene iz linearne? Da li se na aritmeticku sredinu bodova sa kolokvijuma dodaju bonus poeni ili se svi poeni sabiraju i koliki je minimalan broj bodova za 9? Kada profesor upisuje ocene u indeks?
Marija C8
P.S. Sta se desava ako ponovo radimo jedan od kolokvijuma, da li se racuna onaj koji smo bolje uradili ili ponovljeni?
A:(bane) Na prvo pitanje ne znam odgovor, jer ja ne dajem ocene, vec profesor.
Na drugo pitanje, takodje ne znam odgovor.
Na trece znam: polovinom feberuara, kada prodje regularan termin ispita.
P.S. Mozete da popravite bilo koji od kolokvijuma ili da radite ceo ispit,
i racunace se bolji rezultat.
Pozdrav.

Q: (2007. January 25, s_asanov@yahoo.com)
Profesore,
Molim Vas da mi što pre odgovorite da li ste u mogucnosti da me spremate za nastupajuci ispit iz ALGEBRE (14.02.) i ako jeste kada i koliko bi to koštalo?
Posedujem neko znanje, ali nisam siguran da je to dovoljno.
A:(bane) Srdjane,
Ne mogu da te spremam za novac, jer si ti student Elektronskog fakulteta, a ja asistent Elektronskog fakulteta.
I ja sam vec placen od drzave da te naucim algebru (ako si u grupi kojoj ja drzim vezbe).
Prema tome (ako si iz takve grupe) izvoli na besplatne konsultacije.
Vec sutra (u petak) u 12,00h. U nekoj od ucionica na prvom spratu.
Ako nisi iz takve grupe, onda idi kod onog asistenta koji je takodje placen od drzave da te nauci algebru,
i on mora da ti posveti svoje vreme i paznju, kao sto ja posvecujem svoje vreme i paznju ljudima iz svojih grupa.
Pozdrav,
Bane

Q: (2007. January 25, acko86almar@hotmail.com)
Hvala na odgovoru. :-)
Sve pohvale za sajt i za pregled placanja racuna preko neta u Vasoj zgradi
(slucajno sam video kad Vas je za to pohvalio RTS).
Pozdrav Aleksandar Stojanovic
A:(bane) No comment.

Q: (2007. January 24, acko86almar@hotmail.com)
Postovani Bane,
svaka cast za Vase zalaganje da pomognete studentima.
Molim za savet: Nisam bio u prilici da izadjem na II kolokvijum 22.01.2007.
iz Diskretne matematike. Zanima me da li mogu da polazem na ispitu samo II
kolokvijum ili moram da izadjem na ceo ispit?
Pozdrav. :-)
A:(bane) Ansvver iz jes.
Na dan ispita pripremicu tri blanketa:
jedan za ljude koji budu zeleli da polazu samo prvi kolokvijum,
jedan za ljude koji budu zeleli da polazu samo drugi kolokvijum,
i jedan za ljude koji budu zeleli da polazu ceo ispit.
Pozdrav

Q: (2007. January 21, manca1@gmail.com)
Pozdrav profesore,
Sutra je kolokvijum iz linearne algebre pa dok se spremam, naisao sam na par sitnica koje mi nisu bas najjasnije. Molio bih vas da ako imate 5-6 minuta pogledate o cemu se radi i objasnite mi zasto je to tako.
Naime, radi se o determinanti iz prvog zadatka sa proslogodisnjeg drugog kolokvijuma.... Posto ne mogu ovde da je prepisem, mozete da pogledate u blanketu i videti o cemu se radi. Dakle kako se izracunava ova determinanta? Da li razvojem (kako tacno, posto po dijagonali imamo 0, ne mozemo da svedemo na trougaonu det. i samo izracunamo vrednost dijagonale, zar ne?)
I jos jedno pitanje vezano uopste za racunanje neke determinante...konkretno imam ovde jednu determinantu ovakvog tipa (pokusacu da je 'skiciram ovde') (x - to je lambda)
| 1 - x -3 4|
A = | 4 -7-x 8|
| 6 -7 7-x|
Kao resenje se dobija: (x+1)^2(x-3)
Kako se u stvari dobija ovo gore, jer ja kad sam pokusao da je odradim Sarusovim pravilima uvek dobijem x^3 i jos nesto, sto bas ne moze da se razlozi na gore pomenuti oblik. Dakle kako se najjednostavnije racuna ovakva i slicna determinanta?
Ok, to bi bilo to za sad :) Molim vas odgovorite sto pre jer mi je ovo jako hitno i bitnu (a sad je nedelja :( )...
Hvala puno unapred!
Nenad
A:(bane) Onaj sa proslogodisnjeg kolokvijuma mozes da resavas preko rekurentnih relacija, kao da je u pitanju trodijagonalna determinanta.
Dakle, krenes od Dn, pa razvijes po prvoj vrsti, pa ono sto si dobio razvijes po prvoj koloni.
Dobices, verovatno,
D(n)=4D(n-2)
Sad ides na karakteristicnu relaciju, pa na lambde....
pogledaj sa vezbi radio sam takav zadatak, samo su bile valjda dijagonale 2,5,3, ili tako nesto.

Za onu drugu determinantu ima vise nacina.
U stvari, kao prvo, ovo resenje sigurno nije tacno. x na 3 mora da ima ispred sebe -, a ne +!!!
Verovatno ti je najjednostavnije da dopises prve dve kolone, mnozis sve do besvesti, dobijes polinom treceg stepena,
i to verovatno
= -x na 3 +....
Sada na osnovu teoreme o racionalnim nulama polinoma (p/q) i Hornerove seme nadjes nule dobijenog p(x).
To su verovatno x1=-1, x2=-1 i x3=3.
Sada faktorizujes polinom i sve je ok.
Pozdrav.

Q: (2007. January 20, 0642931957@gm.telekom.yu)
14.4.2006. Ispit 5.zadatak s rombom,postoji li mogucnost da bude slican i sta da radim u tom slucaju(kako da pronadje preostala 2 temena)?
A:(bane) Aldina, za tebe samo ukratko:
1. Neka su temena tog romba tacka A(1,2,3) (presek datih pravih) i M(1,5,7).
2. Postavis pravu (l), paralelno sa (q), kroz tacku M.
3. Prevedes pravu (q) na parametarski oblik (preko t).
4. Koordinate treceg temena romba (npr. B), koje ce lezati na (q), sada imas
izrazene preko parametra t.
5. SADA IDE GLAVNI FAZON!!!!
6. Postavis jednacinu: Rastojanje AM (mozes da ga izracunas) jednako
rastojanju AB (u funkciji od t).
8. Resis dobijenu (verovatno kvadratnu) jednacinu po t i dobijes (verovatno)
dva resenja.
9. Kad ta resenja vratis u koordinate tacke B, dobijes dva resenja za tu
tacku: tacke B'i B''.
10. Sad dalji posao radis dvaput:
11. Postavis pravu paralelnu sa (p), kroz B', i njen presek sa pravom (l) je
cetvrto teme C' (prvo resenje).
12. Postavis pravu paralelnu sa (p), kroz B'', i njen presek sa pravom (l)
je cetvrto teme C'' (drugo resenje).
13. Zapitas se: Ako je ovo 'Ukratko', kako li bi bilo 'Nadugacko'?
13. Zapitas se: Da li je moguce da nisam primetila da u algoritmu fali korak 7?
14. Aldina, ako nisi primetila, vreme je da prestanes da ucis i odes negde u provod, inace ima da odlepis do kraja studija.
Pozdrav,
7. Bane
P.S. Evo ga 7. Upravo je prosao...
P.P.S. A bile su i dve 13-tice...

Q: (2007. January 7, illgasta@yahoo.com)
Imam jedno pitanje. Posto drugi kolokvijumi pocinju posle isteka roka za prijavu ispita kako da znam sta da prijavim ako ne znam sta sam polozio preko kolokvijuma? Ako prijavim ispit a ne izadjem da li se racuna da sam pao?? Milan(brucos)
A:(bane) Ispit prijavljujes u svakom slucaju.
Bilo da polozis preko kolokvijuma, bilo na samom ispitu, upisuje ti se da si polozio u januarsko-februarskom roku.
Ako prijavis ispit a ne izadjes, kako ti se to racuna, ne znam.
Pitaces u administraciji.

Q: (2007. January 1, igor.serbia@yahoo.com)
Srecna Nova 2007!
Studenti druge godine
A:(bane) :-)

Q: (2006. December 27, natasa87blue@yahoo.com)
Imam jos jedan problem oko jednog zadatka.. naime,
zadatak glasi "zaokruziti tacne, precrtati netacne
iskaze"...
a) Jednakost je relacija poretka. {Ja bih rekla da je
jednakost relacija ekvivalencije, te da je iskaz
netacan}
b) Prazna relacija je simetricna i tranzitivna. {Nisam
sigruna....kako se definise prazna relacija...mislim
da prazna relacija nije ni simetricna, ni tranzitivna,
ni antisimetricna, ni refleksivna...nekako mi je to
logicno(?)}
c) Ako neka relacija nije simetricna, onda je ona
antisimetricna. {ovo bi trebalo da je tacno{?}}
d) Svako uredjenje koje ima vise maksimalnih
elemenata, nema najmanji element. {Ovo ne mora da
znaci, dakle, iskaz je netacan?}
e) Kolicnicki skup predstavlja jednu particiju skupa
na kome je definisana data relacija ekvivalencije. {?}
f) Ne mogu postojati elementi koji su u relaciji
ekvivalencije, a pripadaju razlicitim klasama
ekvivalencije. {Na jednom primeru sam videla da mogu
postojati, tako da mislim da je iskaz netacan}
g) Ako je uredjenje definisano na konacnom skupu onda
to uredjenje nema maksimalne i minimalne elemente. {?}
h) Za svaka dva elementa u proizvoljnom uredjenom
skupu postoji supremum. {Ne mora da znaci da postoji
sup?}
i) Postoji uredjenje koje ima jedinstven minimalni
element, a nema najmanji element. {?}
Srdacan pozdrav!
Natasa
A:(bane) ' Ajde da probam. Nisam siguran da znam sve.
a) Jednakost je relacija poretka.
NETACNO
b) Prazna relacija je simetricna i tranzitivna.
TACNO
c) Ako neka relacija nije simetricna, onda je ona antisimetricna.
NETACNO
d) Svako uredjenje koje ima vise maksimalnih elemenata, nema najmanji element.
?????????????? NETACNO
e) Kolicnicki skup predstavlja jednu particiju skupa na kome je definisana data relacija ekvivalencije.
TACNO
f) Ne mogu postojati elementi koji su u relaciji ekvivalencije, a pripadaju razlicitim klasama ekvivalencije.
TACNO
g) Ako je uredjenje definisano na konacnom skupu onda to uredjenje nema maksimalne i minimalne elemente.
NETACNO
h) Za svaka dva elementa u proizvoljnom uredjenom skupu postoji supremum.
??????????????? TACNO
i) Postoji uredjenje koje ima jedinstven minimalni element, a nema najmanji element.
????????????????
Natasa, koji je ovo predmet u pitanju? Ili jos bolje, koji je nastavnik u pitanju?
Pozdrav,
Bane

Q: (2006. December 26, natasa87blue@yahoo.com)
Postovani Bane,
Kao prvo moram reci - VELIKO HVALA za resenja zadataka. Kao drugo, pogledala sam Vas sajt i mogu Vam
reci da sam odusevljena. Toliko toga korisnog se moze naci na njemu, pre svega za studente Elektronskog
fakulteta (zadaci sa vezbi, spisak prisutnosti, Q&A....ma sve sto Vase studente moze interesovati),
onda simpaticne stvari kao sto su prezentacije clanova Vase porodice, kao i sajt Vase zgrade koji me je
posebno odusevio, originalna i simpaticna ideja skroz.
Svaka cast!
S pravom mogu reci - BLAGO VASIM STUDENTIMA! Da, na mom fakultetu ne postoji profesor/asistent koji ce se
toliko zalagati da olaksaju studentima, da odgovaraju na sva njihova pitanja itd...naprotiv, nisu ni blizu kao Vi!
Zelim Vam puno uspeha u zivotu i radu, mada verujem da ste to vec postigli. Ostanite takvi kakvi jeste.
Veliki pozdrav od Natase!
A:(bane) No need to answer. No need to comment.

Q: (2006. December 25, natasa87blue@yahoo.com)
Postovani Bane,
Ja studiram fiziku na PMF-u. Imamo kolokvijum u sredu i prilicno mi lose ide.
Za Vas sam saznala od druga koji je treca godina
elektronskog fakulteta, prilicno je pohvalio Vas rad
kada mi je dao adresu Vaseg sajta.
P.s. Ne zelim da Vam ova moja dva zadatka budu
opterecenje, uradite ih ukoliko imate vremena.
1. Dokazati da je relacija ~ definisana na skupu celih brojeva sa:
x~y ekvivalentno sa x|y i y|x relacija ekvivalencije i odrediti klase ekvivalencije.
2. Na skupu nenula realnih brojeva definisana je relacija RO: xROy ekvivalentno sa xy>0.
Dokazati da je RO relacija ekvivalencije i odrediti klase ekvivalencije.
Srdacan pozdrav!
Natasa
A:(bane) 1. Dokazati da je relacija ~ definisana na skupu celih brojeva sa:
x~y ekvivalentno sa x|y i y|x relacija ekvivalencije i odrediti klase ekvivalencije.
Dokaz: Dakle, ako sam dobro razumeo, relacija je zadata pomocu
x~y <=> x|y i y|x <=> "x je delilac y i y je delilac x".
Da bi relacija bila relacija ekvivalencije, treba da bude refleksivna, simetricna i tranzitivna (RST).
R: uzmimo neki ceo broj x. Kako je x~x <=> x|x i x|x <=> x|x <=> uvek tacno jer je svaki ceo broj sam sebi delilac.
S: uzmimo cele brojeve x i y. Kako je x~y <=> x|y i y|x <=> y|x i x|y <=> y~x
T: uzmimo cele brojeve x,y i z. Tada imamo
x~y i y~z <=> (x|y i y|x) i (y|z i z|y) <=> x|y i y|x i y|z i z|y <=> x|y i y|z i y|x i z|y
<=> x|y i y|z i z|y i y|x <=> x|z i z|x <=> x~z. (ovde sam koristio komutativnost i asocijativnost konjunkcije)
Svaki element skupa Z zajedno sa svojim suprotnim brojem je klasa ekvivalencije.
Dakle, ima beskonacno mnogo klasa ekvivalencije, svaka oblika
Ck={-k,k}.

2. Na skupu nenula realnih brojeva definisana je relacija RO: xROy ekvivalentno sa xy>0.
Dokazati da je RO relacija ekvivalencije i odrediti klase ekvivalencije.
Dokaz: Dakle, ako sam dobro razumeo, relacija je zadata pomocu
x~y <=> xy>0 <=> "x i y su istog znaka".
Da bi relacija bila relacija ekvivalencije, treba da bude refleksivna, simetricna i tranzitivna (RST).
R: uzmimo neki ceo broj x. Ako je x pozitivan broj, tada je xx>0 <=> x~x.
Sa druge strane, ako je x negativan broj, tada je xx>0 <=> x~x.
S: uzmimo cele brojeve x i y. x~y <=> xy>0 <=> yx>0 <=> y~x
T: uzmimo cele brojeve x,y i z. Tada imamo
x~y i y~z <=> xy>0 i yz>0 <=> xyyz>0 <=> xy{na kvadrat}z>0
<=> xz>0 (jer je y{na kvadrat} nenegativno) <=> x~z.
Postoje dve klase ekvivalencije C1={1,2,3,....} i C2={-1,-2,-3,...},
tj. u jednoj su svi pozitivni, a u drugoj svi negativni celi brojevi.

Pozdrav i puno srece u sredu.
Bane

Q: (2006. November 19, 0642931957@gm.telekom.yu)
Pretpostavljala sam da moze ovako, ali nisam bila sigurna, a komutativnost mi je bila potrebna da ne "zvezdujem", nego da zamenim mesta npr. x i g' i dobijem e, jer kad g*x*g' /*g =>g*x, a ako opet "zvezdujem" sa g' dobijam isto, nisam bila sigurna da je to g'*g*x. Sad mi je jasno. Hvala.
A:(bane)
No comment.

Q: (2006. November 19, manca1@gmail.com)
Postovanje profesore,
Evo mene opet...spremam kolokvijum u najvecu pa sam nesto hteo da pitam, sobzirom da je vikend i da nema konsultacija ;( Mozete li molim Vas da mi date resenja zadataka 35-38 postupno i sa objasnjenjem zasto je to tako. Meni konretno faktorisanje jednacina nije bas najjasnije. Ako imamo z na 2n - 1=0 onda dobijemo zk=e na ikp/n (k=0,2n-1), kako dalje? To je glavno pitanje!
Hvala unapred, Nenad
A:(bane)
Kao prvo, faktorizacija bilo koje jednacine oblika
a{n}z^n+a{n-1}z^{n-1}+...+a{1}z+a{0}=0 (kod koje {k} znaci indeks, a ^{k} znaci stepen)
koja ima ukupno n resenja, glasi
a{n}(z-z{0})(z-z{1})(z-z{2})......(z-z{n-1})=0
To se koristi u svim zadacima, a zatim se u okviru tih resenja uocavaju parovi konjugovanokompleksnih (uvek ih ima).
Konkretno, u onoj jednacini koju si pomenuo, od ukupno n resenja, imas dva cisto realna z{0}=1 (dobijeno za k=0)
i z{n}=-1 (dobijeno za k=n).
Od ostalih 2n-2 resenja imas ukupno n-1 par konjugovanokompleksnih resenja.
Kad u faktorizaciju "zdruzis" one faktore koji odgovaraju parovima konjugovanokompleksnih resenja, za svaki od njih vazi
(z-z{k})(z-z{k})=z^2-2zRe(z{k})+|z{k}|^2)
(konjugovano z sam oznacio sa z) na osnovu dobro poznatih jednakosti (koje treba da znas napamet)
z+z=2Re(z)
z-z=2iIm(z)
zz=|z|^2
Ovo sa parovima konjugovanokompleksnih resenja i ovakvim tretiranjem njihovog dela faktorizacije je standardni fazon, i to se javlja u svim zadacima ovog tipa.
Pozdrav,
Bane

Q: (2006. November 18, 0642931957@gm.telekom.yu)
Drugi zadatak,26.11.2005. Kako da pokazem da je f(x)=g*x*g' bijekcija,ako * nije komutativna operacija?Hvala.
A:(bane)
x!=y => g*x!=g*y => g*x*g'!=g*y*g' = > f(x)!=f(y) => "1-1"
g*x*g'=y => x*g'=g'*y => x=g'*y*g => "na"
!= znaci razlicito.
Odakle ti potreba za komutativnoscu? Nigde se ne koristi.
Bane

Q: (2006. November 15, algo1@ptt.yu)
Imam dva pitanja iz linearne...
1.vezano za zadatak 2.sa blanketa 4.2.2005. ...kako da nadem neutralni i inverzni element?
2.isto za 1. zadatak iz 1.9.2006. ... i asocijativnost (ako vam nije teško)
Hvala unapred!.
A:(bane)
Duuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuga prica.
Konsultacije, cetvrtak 13h.
Bane

Q: (2006. November 15, manca1@gmail.com)
Student sam prve godine i imam kolokvijum iz Linearne algebre u ponedeljak. Interesuje me da li biste mi mogli poslati neke od zadataka za vezbu, naravno sa odgovorajucim (po mogucstvu postupnim) resenjima. Ja sam skinuo one zadatke koje smo radili na vezbama, ali nemam resenja za njih, tako da ako biste i to mogli da mi posaljete bilo bi super!
Ocekujem da cujem vise od vas...
Hvala unapred,
Nenad Mancevic.
A:(bane)
Resenja imaju svi ljudi koji su posecivali vezbe...
Mancevic??
Nije mi poznato.
Konsultacije, cetvrtak 13h.
Bane

Q: (2006. Maj 23, petarmali1953@yahoo.com)
Profesore kako da ispitam neprekidnost f-je koja ima vrednost x na treci minus x y na kvadrat pa sve podeljeno sa x na kvadrat + y na kvadrat kad je (x,y) razlicito od (0,0) i ima vrednost 0 kad je (x,y)=(0,0). Unapred hvala. Koliko sam shvatio f-ja je neprekidna ali ne mogu to da pokazem po definiciji.
A:(bane)
Pusti limes kad x tezi 0 i kad y tezi 0 (istovremeno). Uvedi smenu y=kx i sada imas limes samo kad x tezi 0. Izvuci gore zajednicko x na 3. Izvuci dole zajednicko x na 2. Pokrati (ostaje jedno x visak gore). Pusti limes. Vrednost mu je 0. To znaci da je limes blizu tacke (0,0) isti kao i vrefnost funcije u (0,0), a to znaci da je funckija neprekidna.
Pozdrav,
Bane

Q: (2006. April 16, draksa83@yahoo.com)
Hvala na odgovoru. Ja sam onaj deo oko obaveznog prisustva shvatio u smislu tad ili nikad. Ima profesora koji tako rade, pa sam pomislio da je i profesor Igor jedan od njih. Sta da se radi, desava se.
Pozdrav Dragan
A:(bane)
No comment.

Q: (2006. April 16, 2718@bankerinter.net)
PROFESORE,
AKO IMATE RESENJA SA DANASNJEG KOLOKVIJUMA MOLIM VAS DA MI POSALJETE ISTE
POZDRAV M.Z.
A:(bane)
Nemam. Tek sutra cu ih resiti.
Bane

Q: (2006. April 15, 2718@bankerinter.net)
Da li imamo izvode za 1 kolokvijum ili to pripada za 2 kolokvijum?
Imam nekih dilema u vezi vasih odgovora za prethodne zadatke, molim Vas
da proverite ono zbog cega sam u dilemi i mozete li da mi resite
sledece zadatke:1. Dati su nizovi a_n i b_n pri ?emu va?i : a_1>b_1>0 i
a_n+1=(a_n + b_n)/2 b_n+1=(2*a_n* b_n)/(a_n+b_n)
dokazati konvergenciju i lim a_n=lim b_n=Ö(a_1*b_1).
2. lim (Ö2*cos (x) - 1) / (1 - tg2(x)) , kad x tezi pi/4 ?
Dileme:
3. Naci sup, inf, lim sup an, lim inf an za niz sa opstim clanom an=1-1/n.
u Vasem odgovoru da nije mozda greska liminf a_n=lim sup a_n=0 ne nula
vec 1, jer ako n tezi beskoncnosti 1-1/beskonacno je 1-0=1 ili se na
drugi nacin odredjuje lim inf, lim sup, Kako?
i 1. clanovi ovog niza su {0,1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,6/7,7/8,8/9,...} pa je:
inf a_n=0 (donja medja),
sup a_n=1 (gornja medja),
liminf a_n=lim sup a_n=0 (najveca (najmanja??) od svih tacaka
nagomilavanja jednaka je
najvecoj od svih tacaka nagomilavanja, tj. jednoj jedinoj tacki nagomilavanja clanova ovog niza).
4.Naci sup, inf, lim sup an, lim inf an za niz sa opstim clanom an=nna((-1)na n)
Kako je tacka nagomilavanja lim inf a_n=lim sup a_n=0?
ako je n=2*n(paran broj) clanovi niza su{2,4,6...} pa mislim da je
tacka nagomilavanja beskonacno ili da ne postoji ako je n=2*n-1(neparan
broj) clanovi niza su{1,1/3,1/5...} pa mislim da je tacka nagomilavanja
nula?
Kako ? U dilemi sam....
2. clanovi ovog niza su {1,2,1/3,4,1/5,6,1/7,8,1/9,10,1/11,12,...}pa je:
inf a_n=0,
sup a_n=ne postoji,
lim inf a_n=lim sup a_n=0.
Pozdrav, cim kada odgovorite 064-433-24-04 UNAPRED HVALA!!!
A:(bane)
Kao sto si i video na kolokvijumu, nema izvoda.
To ostaje za drugi kolokvijum.
1. Niz a_n je ogranicen odozdo, jer je a_n>b_1 za svako n, a i monotono je
opadajuci. Dakle, konvergentan.
Niz b_n je ogranicen odozgo, jer je a_1>b_n za svako n, a i monotono je
rastuci. Dakle, konvergentan.
2. Nisam bas najbolje razumeo.
3. U pravu si, treba 1.
Bane

Q: (2006. April 15, draksa83@yahoo.com)
U vezi sa ispitom iz diskretne matemetike i obavestenjem koje je stajalo na blanketu o terminu za upis ocene: svaka cast za postovanje zadatih termina!!! Zaista mi nije jasno cemu zadavanje termina i insistiranje na OBAVEZNOM(kako ste Vi to napisali) prisustvu kada se sve to tek tako promeni. Zbog tog obavestenja sam morao da menjam planove koje sam imao za odmor, i to u sustini nije problem, ipak sam ja student i fakultet mi je na prvom mestu, ali je i te kako problem kada se ja dodjem u receno vreme i zateknem da je to tek tako promenjemo. Mogli ste bar da napisete da se izvinjavate zbog promene. Bas me interesuje sta bi bilo da neki student ne dodje u dogovoreno vreme za upis ocene ili da se ne pojavi u dogovorene vreme za kosultacije?! Ne znam da li je to Vasa ili profesorova odluka? Ukoliko je njegova budite ljubazni pa mu prenesite ovo i izvinite zbog neprijatnosti. Nadam se da u ponedeljak nece da nas saceka obavestenje da je upis u sredu ili tako nesto.
Dragan Radivojevic
A:(bane)
"... svaka cast za postovanje zadatih termina!!! ..."
U pitanju je visa sila. Inace, ovakvo odlaganje se desilo sada, pa pre toga ko zna kada.
"...termina i insistiranje na OBAVEZNOM(kako ste Vi to napisali ..."
Prisustvo je obavezno, u smislu da ne moze tvoj indeks da donese tvoj kolega, vec moras licno da se pojavis.
Nije u pitanju obavezno danas ili nikad posle toga.
Sto se tice zakasnelog upisa ocene u indeks, sa prof. Igorom nikad nije bilo problema.
"...promenjemo. Mogli ste bar da napisete da se izvinjavate zbog ..."
Izvinite. Unapred najavljeni termini su bili u najboljoj nameri.
"...interesuje sta bi bilo da neki student ne dodje u dogovoreno ..."
Nista. Moguca se dva slucaja.
IF (mi posaljes zelenu ispitnu prijavu preko nekog kolege) THEN
prijava ide sa spiskom u administraciju, a ocena se upisuje u indeks u bilo kom trenutku kasnije kada zateknes profesora u kabinetu,
ELSE
student "formalno"dobije ocenu 5 u ovom roku, prijavi ispiti u nekom od sledecih rokova, i ocena koju je zaradio mu bude bez problema upisana.
ENDIF
"...Nadam se da u ponedeljak nece da nas saceka obavestenje da je upis u sredu ili tako nesto...."
Nadam se i ja. Ali, nikad se ne zna, zivot je cudo... Vazno je da si polozio.
Ako treba da putujes, putuj, samo mi nekako dostavi zelenu prijavu.
Upisaces ocenu u neki ponedeljak do kraja skolske godine
(ponedeljkom prof. Igor ima nastavu od 08,00-11,00, pa tada sigurno mozes da ga nadjes).
Pozdrav,
Bane.

Q: (2006. April 13, 2718@bankerinter.net)
Profesore, mozete li da mi uradite sl. zadatke (postupno, onako kao na vezbama):
1. Naci sup, inf, lim sup an, lim inf an za niz sa opstim clanom an=1-1/n.
Ja sam dobio da je sup an=1, inf an=0 ali neznam da li je to Ok i kako dalje.
2. Naci sup, inf, lim sup an, lim inf an za niz sa opstim clanom an=n na((-1)na n)
3. Naci sup, inf, lim sup an, lim inf an za niz sa opstim clanom an=1+n*sin((n*pi)/2)
Sta prakticno predstavlja SUP,INF, LIM SUP LIM INF(najveca donja, gornja medja..)?
Unapred zahvalan,
MILAN(a ne MILOS kao sto je na vasem sajtu) ZIKIC 11 944 C9
A:(bane)
1. clanovi ovog niza su {0,1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,6/7,7/8,8/9,...} pa je:
inf a_n=0 (donja medja),
sup a_n=1 (gornja medja),
liminf a_n=lim sup a_n=0 (najveca od svih tacaka nagomilavanja jednaka je
najvecoj od svih tacaka nagomilavanja, tj. jednoj jedinoj tacki nagomilavanja clanova ovog niza).
2. clanovi ovog niza su {1,2,1/3,4,1/5,6,1/7,8,1/9,10,1/11,12,...}pa je:
inf a_n=0,
sup a_n=ne postoji,
lim inf a_n=lim sup a_n=0.
3. clanovi ovog niza su {2,1,-2,1,6,1,-6,1,10,1,-10,1,...} pa je:
inf a_n=ne postoji,
sup a_n=ne postoji,
lim inf a_n=lim sup a_n=1
.Pozdrav.

Q: (2006. April 12, borisdelija@yahoo.com)
Da li je dozvoljeno koriscenje L’Hospitalovog pravila u subotu na kolokvijumu iz matematicke analize?
Kako je moguce uraditi zadatak (koji ste nam inace dali za domaci vezbeMA20060320, zadatak 15)
lim x2 * ln[(1/x) / (sin1/x)] (x tezi beskonacnosti), jer posle smene dobijem
lim (p-sinp)/(p2*sinp) (p tezi nuli) i ovo ne mogu da resim bez L’Hospitalovog pravila (dobio sam 1/6). Ili recimo zadatak lim (x-sinx)/x3 (x tezi nuli) koji je slican predhodnom. Ovaj zadatak sam nasao u knjizi primer 2.6.9. str. 109 koji je uraden na krajnje cudan nacin.
I jos jedno pitanje. Zadatak 4 (dom zad II vezbeMA20060306)
Ispitati konvergneciju, a zatim ukoliko postoji i odrediti granicnu vrednost niza datog pomocu X0=1, Xn+1=(Xn)/(1+Xn2), n=0, 1, 2… ???
Koliko sam primetio niz naizmenicno opada i raste, sto me je u potpunosti zbunilo.
Boris
A:(bane)
Ne znam sta da ti kazem.
Pravno gledano, Lopitalovo pravilo nije jos bilo na predavanjima, pa ne bi trebalo da se koristi.
S druge strane to nije logicno, jer se na taj nacin diskredituju dobri djaci koji znaju vise, a ne pruza im se mogucnost da to znanje iskoriste.
Na kraju krajeva, nije na predavanjima bilo ni koriscenje digitrona, pa ipak moze da se koristi.
Na samom kolokvijumu, pitaces onog asistenta koji bude davao zadatke, sta sme da se koristi, ali po svoj prilici zadaci ce biti
nastelovani i zadati tako da se sugerise rad bez Lopitalovog pravila, bez Taylorove formule i bez svih blagodeti i olaksica koje nam
matematicka analiza pruza.

A sad, sto se tice zadataka:

15 zadatak od 20.03.2006:
- uvedi smenu x=1/t i sredi izraz,
- u izraz unutar ln-a dodaj 1 i oduzmi 1, podeli i pomnozi sve sa ((sin t) /t-1) i iskoristi onaj limes ln(1+x)/x-->1,
- DRAGICKA!! dobio si onaj drugi problematican limes iz zadatka broj 4 od 06.03.2006

4 zadatak 0d 06.03.2006.
- ovo zaista nije humano sto sam vam dao za domaci, jer bih ga i ja radio na sve moguce nacine (Lopital, Taylor,...) samo ne peshke,
- pazi sad ovo: nazovi limes L (sto treba da ti sugerise da ces u jednom trenutku, posle konacno mnogo transformacija doci do jos jednog L),
- primeni u brojiocu "dobro poznatu" (!!!) formulu sin t=(1/3)sin(3t)+(4/3)sin^3(t)
- razdvoj limes na dva komata: prvi ima (posle sredjivanja) u brojiocu 3t-sin(3t), a drugi tezi ka jedinici (i ima ispred sebe 4/3),
- kod prvog od njih dopisi 9 ispred i 9 u njegovom imeniocu i uvedi smenu 3t=z,
- ako si sve korektno uradio imas jednacinu L=9L-4/3, odakle je L=1/6
- priznajem, UZAS.
- a osim toga ima i "manjkavost": postupak je matematicki neispravan, jer je jedno od resenja dobijene jednacine po L, L=beskonacno (!!!).

Pozdrav, Bane

Q: (2006. April 09, manojlovic.milos@gmail.com)
Postovani
na oglasnoj tabli na fakultetu nije istaknuta satnica polaganja ispita u aprilskom roku. Kolokvijum iz matematicke analize i ispit iz linearne algebre se polazu istog dana, pa me zanima da li se oba predmeta polazu u istom terminu? Kolokvijum iz mat.analize je od 9h, a vreme polaganja lin.algebre nema da pise. Ovo pitam jer sam prijavio algebru, ali bih zeleo da izadjem i na kolokvijum iz analize. Ako se kojim slucajem desi da se polazu u istom terminu, sta da radim?
Pozdrav, i hvala na razumevanju.
A:(bane)
Prvobitna ideja je bila da budu u isto vreme, sto po meni jedino i ima logike, jer dobri djaci su algebru vec polozili, pa sada mogu da polazu analizu,
a oni drugi neka izaberu. Medjutim, prema mojim, neproverenim, informacijama, bice razdvajanja, da li samo u terminnu, ili i pomeranja po danima, videcemo sledecih dana. To ne zavisi od nas, vec od prodekana za nastavu i administracije.
Bane.

Q: (2006. April 04, jakovljevicneca@yahoo.com)
Treba mi sajt sa kog mogu da se skinu reseni blanketi iz matematickih metoda
Pozdarv, Neca
A:(bane)
Resene blankete, kolko ja znam, nemas nigde.Neresene imas na
www.branislavrandjelovic.com/downloads.htm
Bane

Q: (2006. March 27, nekodrugi_84@yahoo.com)
Pozdrav Bane,
Student sam III godine po starom programu i trenutno spremam Matematiku II. Nekada su se ovde mogle naci vezbe sa racunskih predavanja koje nisam mogao da skinem sve. Poslednju koju imam je sa predavanja, odrzanih 9. Decembra 2004. Ako materijal nadalje postoji, mozes li da mi ih posaljes na mail.
Unapred Hvala, Dusan
A:(bane)
Ne postoji dalji materijal sa vezbi.
Tu negde oko 9. decembra postalo je izvesno da takav kurs Matematike II
nece opstati posle Bolonjskih reformi, pa nisam imao vise volje da sve to
prekucavam i sredjujem.
Ja imam materijal iz predmeta koje drzim ove godine, a to sto ti treba potrazi od
asistenata koji takvu problematiku predaju iz novih predmeta na II godini.
Bane

Q: (2006. March 13, neshabre85@yahoo.com)
Dosao bih na konsultacije iz Diskretne matematike, ovih dana, posto je ispit u ponedeljak 20.3. pa cu sacekati da mi odgovorite kada Vam odgovara! Za sada imam nekoliko nejasnih zadataka iz nizova i spec.klasa matrica, a ovih dana cu zavrsiti sa vezbanjem i drugog dela, pa ce verovatno i tu imati necega nejasnog. Inace, sto se mene tice mogu to da pitam i preko e-maila, mada ce mnogo brze ici 'live', a i jasnije...
Hvala unapred!
Marko Nesic 11568
A:(bane)
Cetvrtak - 12,00h - kabinet 127 - Konsultacije - Live & Acoustic! Svako veche - Konsultacije - via E-mail.
Odluchi sam - Izbor je samo tvoj.
Bane
P.S. Pregledaj konsultacije iz prethodnog roka na
www.branislavrandjelovic.com/qa.htm .
Mozda ces naci neke od odgovora na svoja pitanja.

Q: (2006. February 10, ivanathp@bankerinter.net)
Zdravo!
Naisla sam na par zadataka iz diskretne koje ne umem nikako da uradim, pa evo molim za pomoc!
1.blanket 16.02.2004. - 4.zadatak
da li kod ovog zadatka samo treba da napisem onaj obrazac q=..... ili treba nesto vise
2.blanket 27.6.2003. - 4.zadatak
3.da li je hromatski broj praznog grafa 0 ili 1?
HVALA PUNO
IVANA
A:(bane)
Odgovori (pomalo zakasneli, ali nadam se ne previse):
1. Ovde je trebalo izvoditi formulu.
Za vasu generaciju, ovo izvodjenje necu da trazim,
jer ni na vezbama ni na predavanjima nismo izvodili formulu,
vec smo dali kao gotovu.
2. Ovaj zadatak sam za tu generaciju radio na vezbama, pa sam trazio i na ispitu.
Vama, koliko se secam, nisam radio i nisam dao ni za vezbanje.
Nemam ovde kod sebe zbirku, na poslu mi je, pa nisam siguran, ali ti mozes da proveris
(ako bas nocas nemas sta da radis).
3. Prazan graf ima 0 grana, pa prema tome nijedan cvor nije ni sa kojim cvorom susedan,
pa prema tome mogu da budu obojeni istim bojama.
Dakle, hromatski broj je 1.
Bane

Q: (2006. January 25, milenica2000@yahoo.com)
Samo sam htela da se zahvalim na pomoci, i da vam kazem da studentima ovakav vid konsultacija mnogo znaci. Kada bi na nasem fakultetu bilo vise profesora i asistenata koji su spremni da se ovako potrude oko studenata, mozda on ne bi vazio za jedan od najtezih!
Sve najbolje!
Milena
A:(bane)
No comment.

Q: (2006. January 20, saskaivan@bankerinter.net)
Imam dva pitanja u vezi ispita iz Disktretne 28.1.2006:
1.U koliko sati je ispit u subotu?
2.Kako se formira graf u zadatku 5.56 ?
Hvala unapred.
Ivan Antic.
A:(bane)
Odgovori:
1. U subotu u 9,00h, u A2.
2. Veoma tesko. Treba mnogo dovitljivosti. Zato u zadatku i ne pise "formirati graf", nego "dat je graf".
Bane.

Q: (2006. January 22, quadro@verat.net)
Bane,
kako se tumaci ova matrica, ne znam da je procitam I kako se ona dalje koristi? Ovo je zadatak na blanketima. Saljem ti je atachmentom. (Znam da primenjujem Dijakstrin algoritam ali ne preko matrice).
Pozdrav!!!!!!!!!
A:(bane)
Ovo je tezinska matrica grafa, u kome svaka grana ima tezinu.
Ako je u matrici na poziciji a_ij broj razlicit od nule, to je tezina grane {x_i,x_j}.
Ako je u matrici na poziciji a_ij +beskonacno, to znaci da ne postoji direktna grana {x_i,x_j}.
Na dijagonali su nule, jer radimo sa grafovima bez petlji, a put od svakog cvora do samog sebe je, slozices se, duzine (tezine) 0.
Ovakva matrica se koristi na mnogo nacina, a tvoj posao u ovom zadatku je da na osnovu nje samo nacrtas graf.
I dalje sprovedes Dijsktrin algoritam.
Razlog sto se na blanketu nasla matrica, a ne nacrtan graf, je dvojak:
1. Djaci treba da se nauce da citaju i razumeju tezinske matrice grafova,
2. Mrzelo me da za potrebe blanketa crtam graf u Corel-u, i lakse mi je bio da otkucam kod u TeX-u.

Q: (2006. January 22, milenica2000@yahoo.com)
Imam par pitanja vezanih za gradivo za drugi kolokvijum:
- Da li treba sami da smisljamo primere za konfiguracije blok-sema, npr. u zadacima 4.7, 4.8, 4.9, 4.17 itd?
- Kako ispitujemo da li su ispunjeni uslovi egzistencije uravnotezene blok-seme ako ona nije simetricna? Znam da treba da se ispituju 2 osnovne
j-ne blok sema, da vazi b>=v i r>=k. Da li se ispituje jos nesto? (tj. zasto je onakav postupak za zadatak 4.13.(4) i da li svaka nesimetricna treba da se ispituje na taj nacin?)
- Kako odredjujemo automorfizam za sisteme trojki Stajnera, zad. 4.41? Jasno mi je kada vidim resenje, ali ne znam kako sama da dodjem do te permutacije.
- Za zadatak 5.34.(1) vidimo da vaze svi potrebni uslovi (jednak broj cvorova, grana, isti raspored stepena po cvorovima) da bi 2 grafa bila izomorfna. Posto to nisu i dovoljni uslovi, da li se ispituje jos nesto, ili mozemo samo da napisemo da uprkos svemu tome nisu izomorfni jer ne postoji odgovarajuce preslikavanje?
- Kako da formiramo permutacionu matricu za zadatak 5.37 da bismo dokazali da vazi izomorfizam grafova?
- Vezano za Dijkstrin i Fordov algoritam (nisam bila na casu pa nisam cula): da li se od nas trazi da odredimo najkraci put pomocu jednog odredjenog od ta dva, ili mozemo sami da izaberemo koji nam je laksi?
Hvala unapred
Milena Markovic
A:(bane)
Odgovori:
1. Ovako slozene primere sigurno necete trebati sami da smisljate. Ovo su primeri koji treba da vam ilustruju moguce primene blok-sema u zivotu
(ukoliko se budete bavili nekom poljoprivredom, programiranjem ili slicnim zanimanjima). Ako u zadatku na kolokvijumu bude formiranje blok-seme, bice dati parametri i bice zadat jedan savrseni diferencan skup, na osnovu koga cete moci bez problema da formirate semu.
2. U zadatku 4.13.4 je dat jedan zanimljiv nacin za proveru egzistencije blok-seme, da bih vam pokazao da to i tako moze. Nije obavezno ovako da se radi, preko simetricne blok-seme. Ovo metod to je kao kad podjes iz Nisa za Beograd, a prodjes "preko Prokuplje".
Ako dobijes zadatak u ovom stilu, tvoj posao je da probas: osnovne jednakosti, osnovne nejednakosti, Teoremu Bruksa-Rajznera-Covlja i da na osnovu toga izvuces odgovarajuci zakljucak.
Pravo da ti kazem, tj. pisem, one veze izmedju parametara blok-seme i odgovarajuce simetricne
blok-seme ni ja ne znam napamet, pa je besmisleno i da vama trazim.
Ako treba da u praksi resis ovakav problem (ispitivanja potrebnih uslova za egzistenciju seme), imaj u vidu da i ovako moze, obrni literaturu, nadji veze sa parametrima simetricne seme, i iskoristi kao u 4.13.4.
3. Za zadatak 4.41. koristiti kombinaciju dva metoda:
a) ukljucivanje elementarne vizuelno-matematicke inteligencije i
b) iskljucivanje zamajavanja od strane asistenta.
Za ovaj zadatak me je vec brdo ljudi pitalo, i moram da kazem da sam ja sam kriv. U donjoj blok-semi sam prilikom kucanja zbirke pomesao blokove, tako da redosled "slika" ne odgovara redosledu "originala" (blokova iz gornje). Ako ovako nesto dobijete na kolokvijumu, pazicu da prvom bloku gornje odgovara prvi blok donje, drugom gornje drugi donje,...
Onda sigurno nece biti problema, jer ce se vizuelno sve primecivati.
Tako ces lako otkriti koja permutacija elemenata cini trazeni izomorfizam.
Ista prica se odnosi i na ostale zadatke sa izomorfizmima blok-sema, kao i zadatke sa izomorfizmima grafova (5.32.-5.36.).
4. Ima vise resenja.
U ovom zadatku je, obzirom na mali broj cvorova i mali broj grana, prilicno lako, jer je ocigledno koji viseci cvorovi (cvorovi sa r=1) grafa G1 se preslikavaju u koje visece cvorove grafa G2. Tako cete moci da pretpostavite izgled permutacione matrice iz prvog, eventualno iz drugog pokusaja.
Dokaz da to jeste odgovarajuca matrica i da izomorfizam postoji je provera date matricne jednakosti.
U nekom tezem zadatku, sa vise cvorova i vise grana, to bi bilo veoma tesko, i to na ispitu necete dobijati. Cak ni izomorfizme iz prethodnih zadataka necete morati da radite preko matrice, vec vizuelno, uporedjujuci stepene cvorova i susedstvo cvorova kod datih grafova.
Medjutim, zamisli sad ovu situaciju.
Imas dva grafa sa po mnogo cvorova (n) i mnogo grana (m). Potrebno je da ispitas njihov eventualni izomorfizam.
Nacrtas ih i dodjes do zakljucka da se vizuelno nista ne uocava, zbog citave sume grana i opsteg haosa na slikama.
Pitas se, sta li nas je onaj Bane ucio na vezbama da ovako radimo, kad je to u praksi neprimenljivo. Sednes za racunar.
Uneses matrice susedstva oba grafa.
Uprogramiras vise ugnjezdenih ciklusa, koji ce ti generisati sve moguce permutacione matrice nxn, jednu po jednu, i za svaku od njih ispitivati da li vazi data matricna jednakost, tj. da li postoji izomorfizam.
Pustis ga da radi DO-WHILE (se jednom ne ispuni jednakost OR ispita sve moguce permutacione matrice).
Skuvas kafu, pijuckas, citas novine i uzivas. Ako je n malo vece, mozes i da prosetas.
Kad se vratis za racunar, imas gotov odgovor, postoji li izomorfizam ili ne.
Inace, za racunar su radnje poput transponovanja, mnozenja i uporedjivanja matrica macji kasalj i rade se strahovito brzo, pogotovu ukoliko imas jacu masinu koja ima neki brzi matematicki aparat za ove radnje (npr. sistolicka polja za paralelna izracunavanja munjevitom brzinom).
Dakle, ovi skolski zadaci sa vizuelnim otkrivanje izomorfizama slize za razumevanje ovih pojmoa i elementarnu primenu (kako cete to dobijati na kolokvijumima i ispitima iz diskretne matematike).
Permutacione matrice su stvarna realizacija ovih problema.
Ako se iakada uvedu laboratorijske vezbe iz Diskretne matematike, ovo ce biti verovatno jedan od problema koji ce se programski realizovati.
5. Ovi algoritmi su veoma slicni, ali smo na vezbama radili samo Dijsktrin i dogovorili smo se da za ispit samo on dolazi u obzir.
Razlog je sto je Fordov stariji i malo neefikasniji. Inace, ako ih malo dublje uporedis, videces da je sve to veoma slicno.
Prof. Igor vam je na predavanju pokazivao i algoritam Floyd-Warshall koji je dobar za paralelizaciju, a samim tim i za ubrzanje nalazenja tezine najkraceg puta.
Dakle, za ispit iz diskretne Dijsktrin.
Za prakticnu primenu u zivotu, moze Dijsktra (lako se programira, odredjuje i duzinu najkraceg puta i sam najkraci put), moze Floyd-Warshall (lako se programira i sto je jos vaznije lako se paralelizuje a samim tim stravicno ubrzava!).

Q: (2006. January 20, saskaivan@bankerinter.net)
Da li na ispitu iz diskretne matematike (III semestar) 28.01.2006 moze da se polaze samo drugi kolokvijum (ko je polozio prvi kolokvijum) ili mora ceo ispit? Unapred zahvalan student Ivan Antic.
A:(bane)
Moze da se polaze ceo ispit, moze samo I kol., moze samo II kol.
Ko sta 'oce.
A moze sve i da se zavrsi 23-eg, pa da se 28-og uziva i pijucka pivce u bifeu.

Q: (2006. January 17, borisdelija@yahoo.com)
Taèno je. Za trag se dobija -19.
Hteo bih da naglasim da sam tražio bazu za sistem Ub, jer posle preslikavanja dobijene slike nisam mogao da izrazim preko elemenata datog sistema vektora Ub zato što on nije baza.
Oèigledno da nisam posvetio dovoljnu pažnju na deo zadatka u kome se kaže ''koristeæi bazu Ua''.
Hvala.Boris
A:(bane)
OK.

Q: (2006. January 17, borisdelija@yahoo.com)
Na samom pocetku hteo bih da pohvalim novi nacin komunikacije sa studentima.
Nije mi jasno gde grešim u zadatku koji smo imali za domaci sa XI vežbi iz linearne (LA05dec22 domaci zadatak IX, zadatak 4.)
DZ4. U prostoru R3 data su dva sistema vektora
Ua = {(5,3,1), (1,-3,-2), (1,2,1)} i Ub = {(-2,1,0), (-1,3,0), (-2,-3,0)}.
Ispitati koji od njih može biti baza u prostoru R3. Zatim odrediti matricu operatora A:R3 - R3, datog pomocu A(Ua) = Ub, koristeci bazu Ua. Na kraju odrediti trag dobijene matrice A.
Rešenje koje ste nam dali za trag je -19.
Ja sam ga uradio na sledeci nacin:
Ua jeste baza, dok bi za Ub baza bila {(-1,3,0), (0,-5,0)}. {rang Ub=2}
dim Ua=3, dim Ub=2 odatle sledi da je matrica operatora 2x3.
I Najpre preslikavamo pomocu operatora A elemente prve baze A(5,3,1) = (-2,1,0) itd.
II Svaku od dobijenih slika predstavimo preko elemenata druge baze (-2,1,0) = a(-1,3,0) + ß(0,-5,0)
III Od dobijenih koeficijenata formiramo bazu ciji je trag=2
Boris sa I godine
A:(bane)
Idemo od pocetka.
Ua jeste baza, a Ub NIJE BAZA, jer je rang(Ub=2)!
Dakle, ovde nije trebalo naci jednu bazu za sistem vektora Ub, vec SAMO ISPITATI da li je baza ili ne.
Znaci, jedina baza za kojom radimo dalji zadatak je baza Ua!
Preslikamo elemente ove baze i pri tome, kako je A(Ua)=(Ub), dobijamo
A(5,3,1)=(-2,1,0)
A(1,-3,-2)=(-1,3,0)
A(1,2,1)= (-2,-3,0),
i svaki od njih izrazimo preko elemenata iste baze (Ua)
(-2,1,0)=a(5,3,1) + ß(1,-3,-2)+gamma(1,2,1)
(-1,3,0)=a(5,3,1) + ß(1,-3,-2)+gamma(1,2,1)
(-2,-3,0)=a(5,3,1) + ß(1,-3,-2)+gamma(1,2,1),
a, ß i gamma za sva tri slucaja.
Tako ce dobijena matrica biti 3x3, a ne 3x2, pa ima smisla traziti trag matrice.
E sad, dal' je resenje -19 ili nije, pravo da ti kazem nisam siguran, jer sam ja to odavno radio i na papiru sa koga drzim vezbe
mi je sve na tom mestu zabrljano, ali probaj da uradis zadatak na gore opisani nacin, pa ces proveriti.
Obavesti me o dobijenom rezultatu, ako se setis.
Bane

Q: (2006. January 12, gujica@yahoo.com)
Pitanja koja cu postaviti vezana su za gradivo iz 2 god, tj. matematiku 2:
1. Geometrijska interpretacija oblasti definisanosti funkcije
f (x,y) = v(x²+y²-a²) - v(b²-x²-y²) ?
2. Kod ispitivanja totalne granicne vrednosti funkcije, nije mi jasno zasto limes ne postoji ako zavisi od k ili k²?I kad se uzima smena y = kx, a kad y = x²?
3.Odrediti uzastopne granicne vrednosti i totalnu granicnu vrednost (IxI–>8, IyI–>8) f-je f (x,y) = (x²+y²)/[1-(x-y)²*²]?
4.Ispitati neprekidnost f-je (x²-y²)/(x² +y²) , (x,y)? (0,0) f (x,y) = {1 , x,y=0?
Toliko za sad! Kad mogu da dodjem na konsultacije?Trebali bi mi odgovori do subote...ove! Unapred zahvalan
Djole
A:(bane)
1. Ako je |a|>|b| u pitanju je (Df) kruzni prsten, sa centrom u koordinatnom pocetku, i poluprecnicima r1=a i r2=b.
Ako je |a|>=|b|, Df={}.
2. Ako limes zavisi ok k, znaci da se prilikom prilaska ispitivanoj tacki dobijaju razlicite vrednosti limesa, u zavisnosti od toga kojim pravcem se prilazi tacki. Dakle, granicna vrednost nije jedinstvena, a ako nije jedinstvena, ona ne postoji. Kad y=k, a kad y=k2, procenjujes na osnovu izgleda funkcije koja je "pod"limesom. Na kraju krajeva, probas jedno, pa ako ne da rezultat, probas drugo.
3. Ne razumem bas najbolje izraz pod limesom, ali svejedno, ja bih ovde uveo smene: x=ro cos(theta), y=ro sin(theta). Tako se dobija lime kad ro->beskonacno, cilj ti je da konacno resenje ne zavisi od theta.
4. Ja bih ovo radio sa y=kx. Probaj. Ovako odokativno deluje mi da nije neprekidna.
Cini mi se da vecina ovih zadataka ima uradjena na vezbama. Proveri.
Pozdrav

Q: (2006. January 11, ljubisa85@ptt.yu)
Puno hvala!
Sve je jasno. Jos jednom se izvinjavam i obecavam vise od 90 poena na kolokvijumu.
Ljubisa GLigorijevic
A:(bane)
Ostala pitanja i poruke studenata i on-line konsultacije, mozes naci na
http://www.branislavrandjelovic/QA.htm
Pozdrav.
Bane

Q: (2006. January 11, sotsprodigy@yahoo.com)
Zdravo kolega, imam jedno pitanje za vas.
Posto je doslo do pomeranja ispita iz logickog projektovanja za 9.02.2006
da li ostaje II kolokvijum iz diskretne matematike 23.01 ili se pomera za 28.01?
Bilo bi zgodno da ostane posto bi u tom slucaju imali dve prilike da polozimo ispit, dok ovako imamo samo ispit i uloliko ne polozimo pali smo ispit.
Hvala unapred.
Todorovic Boban
A:(bane)
Sve imas na www.
Verovatno nisi pogledao.
Sve je, naravno, u skladu sa studentskim zeljama, dakle sa dve (ne)prilike da se polozi ispit.
Bane

Q: (2006. January 09, ljubisa85@ptt.yu)
Postovani kolega,
iako mi pocetak pisma najteze pada, snasao sam se u ovoj situaciji :-)
Imam, par pitanja u vezi zadataka sa vezbi iz predmeta Diskretna matematika. Posto smatram da je ovaj nacin, brzi i efikasniji odlucio sam se za pismo, i nadam se da necete zameriti.
1. Kod zadatka 4.15. pod 3), u zbirci je navedeno da su uslovi egzistencije blok-seme v=29, k=9, &#955;=2 ispunjeni, ali ako se proveri jednacija r(k-1)=&#955;(v-1) dobija se 9*8=2*28.
2. U zadataku 5.53. moram da priznam da ne znam odakle da pocnem. Zamolio bih Vas za pomoc.
3. Kod zadatka 5.88. u zbirci je navedeno da graf ima 14 cvorova i 16 grana, a ja poprilicno sigurno tvrdim :-) da je 13, tj. 15.
4. U zadatku 5.105. pod 4) mislim je da hromatski broj 3, a ne 4.
5. Zadatak 5.144. Krecem od toga da treba da bude najmanje n-p grana, pa samim tim n mora da bude vece od 56. Nisam siguran da li je ispravno?
6. U zadatku 5.147. zasto, ako imamo 21 granu, je minimalan broj cvorova 7 ?
Nadam se da Vam ne oduzimam puno vremena. Unapred hvala!
Ljubisa Gligorijevic
A:(bane)
Postovani kolega,
here are the Answers:
1. (4.15) Jedan od potrebnih uslova je ispunjen (Teorema Br..-Re..-Co...), ali to ne znaci da sema sigurno postoji (taj uslov nije i dovoljan). Ti si
upravo pronasao jedan od potrebnih uslova koji nije ispunjen. Ipak, u pravu si, trebalo je da u tim zadacima ispitam sve potrebne uslove,
koje smo radili na vezbama, pa i r(k-1)=&#955;(v-1). Usvaja se porigovor.
2. (5.53) Uzmi bilo koju matricu incidentnosti B, iz bilo kog zadatka, za bilo koji graf. Nadji njenu transponovanu. Nadji matricu B-nadvuceno za
komplementarni graf. Nadji njenu transponovanu. Izracunaj vrednost datog matricnog izraza.Sada, uzmi bilo koju drugu matricu incidentnosti B, iz bilo kog drugog zadatka, za bilo koji drugi graf. Nadji njenu transponovanu. Nadji matricu B-nadvuceno za odgovarajuci komplementarni graf. Nadji njenu transponovanu. Izracunaj sada vrednost datog matricnog izraza. Sta primecujes? Da li su svuda jedinice, a na dijagonali broj cvorova grafa?
Ima li to neke veze sa izrazom u zadatku 5.52?
3. (5.88) Neverovatno. A smeo sam da se zakunem da je pre ukucavanja teksta zbirke pisalo 13, tj. 15! U pravu si, naravno, u sta sam se i ja, na svoje veliko iznenadjenje, uverio, primenom cuvene prastare metode prebrojavanja cvorova i grana.
4. (5.105) Ja ne mislim. Proveri malo bolje.
5. (5.144) Ako graf ima n cvorova i p komponenti povezanosti , on sme da ima NAJMANJE m=n-p grana (a moze i vise), tj. razlika n-m ne sme da bude veca od p! Dakle, ako je broj grana fiksno m=54, broj cvorova ne sme da bude veci od m+p=57!
6. (5.147) Ako fiksiras broj grana (m=21), najveci moguci broj cvorova dobijas za slucaj da svaki od cvorova (osim prvog i poslednjeg) ima po dva
suseda. To ti je kao da pijani gosti (cvorovi) igraju kolo na nekom veselju i svi stiskaju znojavim rukama (to su grane grafa) svoje "komsije" u kolu
(znaci svaki je stepena regularnosti r=2), a kolovodja i onaj na kraju imaju u drugoj ruci po maramche (oni su viseci cvorovi, stepena regularnosti
r=1). Dakle, maksimalan broj cvorova je 22. S druge strane, najmanji moguci broj cvorova dobijas za slucaj da je svaki od cvorova povezan sa svakim od ostalih cvorova, kao sto su u spanskim serijama "povezani" likovi - svaki sa svakim (strucnije receno, u pitanju je kompletan graf, stepena regularnosti r=n-1), pri cemu je ukupan broj grana (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+2+1=n(n-1)/2, pa je n=7.
Oduzeo si mi vremena, ali nije strasno, vazno je da smo bili efikasni, i da smo sada neke stvari uklavirili bolje.

Q: (2006. January 02, shiky@verat.net)
Sto se tice rasporeda i mi smo se malo razocarali a i zbunili! Raspored je sledeci:
17.1.-II kolokvijum iz OOP-a
20.1.-II kolokvijum iz Racunarskih sistema
24.1.- ispit iz Logickog projektovanja (nismo imali kolokvijume iz ovog predmeta)
28.1.-III kolokvijum iz Digitalne elektronike (poklapa se sa ispitom iz Diskretne)
Vi ste prvobino zakazali kolokvijum za 23.1. Nas predlog je da II kol. iz Diskretne ostane 23.1., a da se ispit iz Logickog projektovanja pomeri za neki datum u februaru (ako je to uopste ostvarljivo). Ukoliko profesor zavrsi sa predavanjima jedan cas ranije (pre 16.1.) kolokvijum se moze odrzati 16.1. Ustvari svi termini odgovaraju osim 18.1. i 19.1. Kome mozemo da se obratimo zbog ovakvo konfuznog rasporeda i zbog cega nema, po zavrsetke semestra, veca pauza do pocetka ispitnog roka koji bi sluzili za polaganje kolokvijuma???
P.S. Ovo su nasi predlozi o kojima bi trebalo da se pitaju i drugi studenti.
Nemanja, Nenad i Mladen
A:(bane)
Na raspored svih predmeta ne mogu nikako da utichem, to je nadleznost studentske sluzbe i prodekana za nastavu. S druge strane, Diskretnu matematiku (ispit) mozemo da pomerimo za koji god termin hocemo. Sto se tice mene, moze da ostane 28.01. ali moze i neki dan na kraju ili po zavrsetku roka, ako vam odgovara. Recimo tamo negde oko 17. ili 18. februara, ili cak 20. Oko toga se ne sekirajte.Pitacete samo prof. Igora za svaki slucaj, ali koliko ja znam on nikada nije do sada pravio probleme, pa verovatno nece ni vama, i verovatno ce vas uputiti na dogovor sa mnom.
Mnogo veci problem je organizacija II kolokvijuma. Ako vam Logicko istane 24. onda ce vam Diskretna 23. praviti velike komplikacije. Cilj kolokvijuma nije da se odrzi "reda radi", vec da sto vise vas izadje i, nadam se, polozi. To sto nema pauze od nedelju dana, za kolokvijume, pojma nemam o cemu se radi. Taj problem nemate samo vi, vec i ostali smerovi, a pogotovu brucosi. Mozete da zamislite kako se sada oni tek osecaju, i kako su zbunjeni sto nema pauze za kolokvijume. Setite se samo kako ste se vi osecali prosle godine u ovo vreme.
Ja bih vam savetovao ovako. U ponedeljak ujutru se odmah dogovorite o svemu, dok budete bili svi zajedno na predavanju.
Pripremite predlog. Kad napravite vas predlog (a to bi trebalo da bude kompletan raspored svih predmeta sa vaseg smera, najbolje sa postovanjem vec predlozenih termina, ali redosledom ispita prema vasim zeljama), obratite se:
1. svojim predstavnicima u studentskom parlamentu (tj. osobi koja je zaduzena za nastavu), ili
2. sluzbi za studentska pitanja, ili
3. prodekanu za nastavu prof. Tasicu, ili
4. sefu katedre za racunarstvo prof. Milentijevicu.
Krajnja solucija je, ukoliko nista od ovoga ne pomogne, interni dogovor sa predmetnim nastavnicima i asistentima. S moje strane pomoci cu vam za pocetak, tako sto cu i ja u ponedeljak ujutro da odreagujem na pomenutim, mestima.
Pozdrav,
Bane.

Q: (2006. January 02, shiky@verat.net)
Pre svega Srecna Nova Godina!!!
Na sajtu je okaceno da je iz oblasti kombinatorne konfiguracije radjeno do zadatka 4.93, dok ste drugoj i trecoj grupi radili do zadatka 4.65. Pa bi smo hteli da vas pitamo koji od tih zadataka treba da se radi. Takodje nas interesuje nacin formiranja blok sema u zadatku 4.58. Kad mozemo doci na konsultacije?
Nenad, Nemanja i Mladen
A:(bane)
Ne znam gde ste to nasli da treba do 4.93. Jeste stajalo jedno vreme tako, ali kako prof. Igor nije predavao latinske i magicne kvadrate i ja sam na vezbama stao sa zadatkom 4.65 (i za vezbanje 4.67 i 4.68). Posle toga sam izmenio stanje na www, i sada tako stoji. Verovatno ste skinuli taj fajl u medjuvremenu, pre konacnih izmena.Izvinite zbog ove zabune.
Sto se tice zadatka 4.58, u komplementarnu blok semu date seme (dakle algoritam je rekurzivni, moras da imas na pocetku jednu datu semu!), ulaze blokovi koji su komplementi blokova date seme (do skupa cvorova V).
Konsultacije cemo organizovati vec tokom prve nedelje nastave, a dogovoricemo se o svemu u ponedeljak, 09.01.2006. u 11,00h, po zavrsetku predavanja. Doci cu u A2.
P.S. Bacite pogled na sajt fakulteta, dat je raspored za januarsko-februarski rok.
Prilicno je konfuzan i nije u skladu sa onim sto sam ja predlagao (da Diskretna matematika bude zadnjeg dana roka), pa ne znam da li vam ovako odgovara, tj. iskonsultujte se so ponedeljka, pa da mi kazete jel' treba da se reaguje i nesto menja? Ili da ostavimo ovako?
Takodje nema predvidjenih termina za II kolokvijum, a moramo da ga odrzimo pre pocetka ispitnog roka. Kada su vam tokom januara zakazani kolokvijumi? Posaljite mi spisak datuma kada ste zauzeti, a moze i predloge datuma kada niste zauzeti (i imate par dana pre toga malo da poucite) pa da zakazemo nas II kolokvijum iz Diskretne matematike.
Bane

Q: (2005. November 23, markovoda@yahoo.com)
Postovani kolega,
Ja sam Marko Nikolic, student II godine i imam jedno pitanje u vezi predstojeceg kolokvijuma iz diskretne matematike. Zanima me da li mogu da nadoknadim taj kolokvijum kasnije, posto nisam u mogucnosti da polazem u subotu, ili, moram kasnije da polazem ceo ispit. Naravno, planiram da izadjem na sve sledece kolokvijume do kraja. Nisam u mogucnosti da polazem u subotu jer igram utakmicu prve savezne vaterpolo lige u Beogradu.
Unapred hvala
A:(bane)
Marko,
Nisam planirao nikakve dodatne termine za I kolokvijum. Ipak, mislim da nemas razloga za sekiraciju sto propustas subotnji kolokvijum. Obzirom na kolicinu i tezinu gradiva iz ovog predmeta (koji smatram ekstra, ekstra lakim), verovatno ti nece biti problem da sve polozis odjednom, recimo u januarskom (ili nekom sledecem) ispitnom roku. Ja, iskreno receno, nisam ni planirao da vas maltretiram tokom semestra i da vas majem sa ovakvim kolokvijalnim polaganjem ispita, jer racunam da imate vise vaznijih i strucnijih predmeta (Obj, orij. porogramiranje, Log. projektovanje, Rac. sistemi) kojima treba da se posvetite u potpunosti. Ali, vi studenti ste sami to trazili, pa smo onda resili da to i izvedemo. Ako ti bas toliko znaci deoba ovog ispita na dva dela, izadji u januaru, po zavrsetku nastave, na drugi kolokvijum, polozi ga, a onda u januarskom ispitnom roku izadji i polazi samo onaj deo ispita koji nisi polozio preko kolokvijuma.
Bane.
P.S. Srecno u Beogradu! Javi mi kada vam je sledeca utakmica u Nisu, hocu da dovedem klince da gledaju, jer nikada nisu blii ni na jednoj vaterpolo utakmici.

Q: (2005. November 22, shiky@verat.net)
Nadam se da cu dobiti neke informacije od vas u vezi kolokvijuma iz diskretne matematike. Konkretno me interesuje da li na kolokvijumu ulazi i gradivo iz stohastickih matrica.
Unapred hvala
Mladen
A:(bane)
Mladene,
Dogovorili smo se da za OVAJ kolokvijum toi preskocimo, i to iskljucivo iz razloga sto sam se presao na vezbama i nisam transponovao rezultantnu matricu. Da vas sada ne bih jurio, svakog ponaosob, i objasnjavao u cemu je bio kiks, ovako je jednostavnije. Dakle, za subotu ste postedjeni toga.
Oni studenti koji budu polagali ispit u januaru i na dalje, mogu da racunaju i na stohasticke matrice.
Bane.
P.S. I da znas, nikada nista ne "ulazi na kolokvijumu, vec "ulazi na kolokvijum" ili jos bolje "dolazi u obzir za kolokvijum" ili nesto trece u tom stilu,
pri cemu se pazi da se ne pomesaju padezovi.